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SKILLCARD « Théorème du rang » — MPSI à PTSI

SKILLCARD · Théorème

Théorème du rang — MPSI à PTSI

  • Maths prépa
  • Algèbre linéaire
  • MPSI
  • PTSI
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Exercices reliés, progression et HORA dans l’app JeRaisonne — le premier exercice est gratuit.

Quand l’utiliser ?

Pour relier la dimension du noyau et celle de l'image d'une application linéaire, ou prouver une bijectivité.

La règle

Si EE est de dimension finie et u∈L(E,F)u \in \mathcal{L}(E,F) : dim⁡E=dim⁡ker⁡u+rg⁡u\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rg} u. Si dim⁡E=dim⁡F\dim E = \dim F : uu injective   ⟺  \iff surjective   ⟺  \iff bijective.

La méthode

  1. Calcule ker⁡u\ker u (résous u(x)=0u(x) = 0) et sa dimension.
  2. Déduis rg⁡u=dim⁡E−dim⁡ker⁡u\operatorname{rg} u = \dim E - \dim \ker u.
  3. En dimensions égales, ker⁡u={0}\ker u = \{0\} suffit pour la bijectivité.

Exemple

u(x,y,z)=(x+y,y+z)u(x,y,z) = (x + y, y + z) : ker⁡u=Vect(1,−1,1)\ker u = \mathrm{Vect}(1,-1,1), donc rg⁡u=3−1=2\operatorname{rg} u = 3 - 1 = 2 : uu est surjective sur R2\mathbb{R}^2.

Les pièges à éviter

Le théorème donne des dimensions, pas E=ker⁡u⊕Im⁡uE = \ker u \oplus \operatorname{Im} u (faux en général) ; il exige EE de dimension finie.

La méthode HORA dans chaque Skill Card.

Chaque Skill Card te guide avec la méthode HORA pour réussir les exercices, faire progresser et entretenir ton niveau de maîtrise.

  1. Hypothèse

    Je comprends l’énoncé, j’identifie ce qu’on cherche et les informations données.

  2. Outil

    Je choisis l’outil mathématique adapté (définition, propriété, théorème, formule…).

  3. Raisonnement

    Je justifie pourquoi cet outil est pertinent et je construis ma démarche.

  4. Application

    J’applique la méthode au problème et je conclus en vérifiant le résultat.

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