Familles libres, génératrices, bases — MPSI à PTSI

Pour prouver qu'une famille est une base, ou trouver la dimension d'un espace.

$(e_1,\dots,e_n)$ est libre si $\sum \lambda_i e_i = 0 \Rightarrow$ tous les $\lambda_i = 0$ ; génératrice si tout vecteur est combinaison linéaire des $e_i$ ; une base est libre et génératrice. Si $\dim E = n$, une famille de $n$ vecteurs est une base dès qu'elle est libre (ou génératrice).

1. Écris $\sum \lambda_i e_i = 0$ et résous le système.
2. Si seule la solution nulle existe, la famille est libre.
3. En dimension $n$, $n$ vecteurs libres forment une base.

$(1,1), (1,-1)$ dans $\mathbb{R}^2$ : $a + b = 0$ et $a - b = 0$ donnent $a = b = 0$ : libre, 2 vecteurs, donc base.

Libre ≠ « deux à deux non colinéaires » dès 3 vecteurs ; ne compare le cardinal à la dimension qu'en dimension finie connue.