SKILLCARDS — les cartes de compétences à collectionner et maîtriser

6ème4 cartes

6ème → 5èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Arithmétique
Carrés des entiers de 1 à 20
$n^2 = n \times n$ .

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/GYQSJR
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Carrés des entiers de 1 à 20
Quand l’utiliser ?
Utilise cette carte dès que tu dois reconnaître un carré parfait, simplifier une racine carrée ou vérifier qu'un nombre est un carré.

n² pour n de 1 à 20
n

n²

n

n²

1

1

6

36

2

4

7

49

3

9

8

64

4

16

9

81

5

25

10

100

n

n²

n

n²

11

121

16

256

12

144

17

289

13

169

18

324

14

196

19

361

15

225

20

400

Exemple
169 est-il un carré parfait ?

Je cherche 169 dans le tableau.

Je lis : $13^2 = 169$ .

→ Oui, 169 est un carré parfait.

⚠ Attention
Ne confonds pas $n^2$ et $2n$ : $4^2 = 16$ , pas $8$ . Rappel : $0^2 = 0$ est aussi un carré parfait.
6ème → 5èmeXP MAX#Propriété#Algèbre
Le 1, neutre de la multiplication
$1 \times x = x$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/TYAJ5J
JeRaisonne
Propriété
Le 1, neutre de la multiplication
Élément neutre de la multiplication
$1 \times x = x$
$x$

n'importe quelle variable ou expression

Valable pour tout nombre ou expression littérale.

Ce que ça change
Quand une variable apparaît seule, elle a un coefficient caché : 1.

$x = 1 \times x = 1x$

Ecrire ce $1$ permet de réduire ou factoriser comme les autres termes.

Exemple
Réduire $x + 3x$

Repère que $x$ est seul → pose $x = 1x$

$1x + 3x$

Même facteur $x$ → additionne les coefficients : $(1 + 3)x$

→ $4x$

Quand l’utiliser ?
Utilise cette propriété dès qu'une variable sans coefficient apparaît dans une somme ou une factorisation : $x + 2x$ , $x - 5x$ , $x + x$ …

⚠ Attention
Erreur fréquente : oublier le $1$ caché.

❌ $x + 3x = 3x$ (on ignore le $x$ seul) ❌ $x + 3x = 4$ (on oublie la variable) ✅ $x + 3x = 1x + 3x = 4x$
6èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Arithmétique
Table de multiplication de 9
La somme des chiffres d'un multiple de 9 est toujours divisible par 9.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/2C4GMW
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Table de multiplication de 9
Table de × 9
×

=

×

=

9 × 1

9

9 × 6

54

9 × 2

18

9 × 7

63

9 × 3

27

9 × 8

72

9 × 4

36

9 × 9

81

9 × 5

45

9 × 10

90

✦ Astuce
La somme des chiffres d'un multiple de 9 est toujours divisible par 9. Ex. : 63 → 6 + 3 = 9 ✓ Ex. : 72 → 7 + 2 = 9 ✓

⚠ Attention
Ne confonds pas 9 × 6 = 54 et 9 × 7 = 63 : ces deux résultats sont souvent inversés !
6èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Arithmétique
Table de multiplication par 8
La multiplication est commutative : $7 \times 8 = 8 \times 7 = 56$ Utilise la table dans les deux sens !

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/G67PSU
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Table de multiplication par 8
Table de × 8
×8

=

×8

=

1×8

8

6×8

48

2×8

16

7×8

56

3×8

24

8×8

64

4×8

32

9×8

72

5×8

40

10×8

80

Astuce
La multiplication est commutative : $7 \times 8 = 8 \times 7 = 56$ Utilise la table dans les deux sens !

Quand l’utiliser ?
Utilise cette table dès que tu multiplies un nombre par 8 ou que tu cherches un multiple de 8.

⚠ Attention
Ne confonds pas : $7 \times 8 = \mathbf{56}$ $7 \times 9 = \mathbf{63}$ Ces deux résultats sont souvent mélangés — relis-les plusieurs fois !

n	n²	n	n²
1	1	6	36
2	4	7	49
3	9	8	64
4	16	9	81
5	25	10	100

n	n²	n	n²
11	121	16	256
12	144	17	289
13	169	18	324
14	196	19	361
15	225	20	400

×	=	×	=
9 × 1	9	9 × 6	54
9 × 2	18	9 × 7	63
9 × 3	27	9 × 8	72
9 × 4	36	9 × 9	81
9 × 5	45	9 × 10	90

×8	=	×8	=
1×8	8	6×8	48
2×8	16	7×8	56
3×8	24	8×8	64
4×8	32	9×8	72
5×8	40	10×8	80

5ème4 cartes

5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Calcul numérique
Additionner des fractions
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/WBC3SP
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner des fractions
Règle générale
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
$a, c$

numérateurs

$b, d$

dénominateurs

Valable quand b ≠ 0 et d ≠ 0

Méthode
Les dénominateurs sont-ils égaux ? Si oui, additionne directement les numérateurs → étape 3.

Sinon, trouve le PPCM (ou un multiple commun) des dénominateurs.

Convertis chaque fraction : multiplie numérateur ET dénominateur par le même nombre.

Additionne les numérateurs, garde le dénominateur commun.

Simplifie la fraction si possible.

Exemple
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$ — dénominateurs différents, PPCM = 12

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{3 + 8}{12} = \dfrac{11}{12}$

→ $\dfrac{11}{12}$ (déjà simplifiée)

⚠ Attention
Ne jamais additionner les dénominateurs !
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \neq \frac{3}{7}$
Seuls les numérateurs s'additionnent, une fois le dénominateur commun trouvé.

Pense aussi à simplifier le résultat final.
6ème → 5èmeXP MAX#Tableau de synthèse#Arithmétique
Carrés des entiers de 1 à 20
$n^2 = n \times n$ .

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/GYQSJR
JeRaisonne
Tableau de synthèse
Carrés des entiers de 1 à 20
Quand l’utiliser ?
Utilise cette carte dès que tu dois reconnaître un carré parfait, simplifier une racine carrée ou vérifier qu'un nombre est un carré.

n² pour n de 1 à 20
n

n²

n

n²

1

1

6

36

2

4

7

49

3

9

8

64

4

16

9

81

5

25

10

100

n

n²

n

n²

11

121

16

256

12

144

17

289

13

169

18

324

14

196

19

361

15

225

20

400

Exemple
169 est-il un carré parfait ?

Je cherche 169 dans le tableau.

Je lis : $13^2 = 169$ .

→ Oui, 169 est un carré parfait.

⚠ Attention
Ne confonds pas $n^2$ et $2n$ : $4^2 = 16$ , pas $8$ . Rappel : $0^2 = 0$ est aussi un carré parfait.
5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Développer avec la distributivité
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PVKRPU
JeRaisonne
Technique de calcul
Développer avec la distributivité
Quand l’utiliser ?
Tu vois un facteur × (somme ou différence) → développe pour supprimer les parenthèses.

Règles
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Exemple
Développer $3(2x+5)$

$3(2x+5)$ : $3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$

$\Rightarrow 3(2x+5) = 6x + 15$

⚠ Attention
Piège 1 : oublier un terme → $3(2x+5) \neq 6x+5$ ✗ (il faut multiplier tous les termes).

Piège 2 : signe $-$ devant → $-2(x-4) \neq -2x-8$ ✗ ( $-\times- = +$ , le signe change !).
6ème → 5èmeXP MAX#Propriété#Algèbre
Le 1, neutre de la multiplication
$1 \times x = x$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/TYAJ5J
JeRaisonne
Propriété
Le 1, neutre de la multiplication
Élément neutre de la multiplication
$1 \times x = x$
$x$

n'importe quelle variable ou expression

Valable pour tout nombre ou expression littérale.

Ce que ça change
Quand une variable apparaît seule, elle a un coefficient caché : 1.

$x = 1 \times x = 1x$

Ecrire ce $1$ permet de réduire ou factoriser comme les autres termes.

Exemple
Réduire $x + 3x$

Repère que $x$ est seul → pose $x = 1x$

$1x + 3x$

Même facteur $x$ → additionne les coefficients : $(1 + 3)x$

→ $4x$

Quand l’utiliser ?
Utilise cette propriété dès qu'une variable sans coefficient apparaît dans une somme ou une factorisation : $x + 2x$ , $x - 5x$ , $x + x$ …

⚠ Attention
Erreur fréquente : oublier le $1$ caché.

❌ $x + 3x = 3x$ (on ignore le $x$ seul) ❌ $x + 3x = 4$ (on oublie la variable) ✅ $x + 3x = 1x + 3x = 4x$

n	n²	n	n²
1	1	6	36
2	4	7	49
3	9	8	64
4	16	9	81
5	25	10	100

n	n²	n	n²
11	121	16	256
12	144	17	289
13	169	18	324
14	196	19	361
15	225	20	400

4ème5 cartes

5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Calcul numérique
Additionner des fractions
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/WBC3SP
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner des fractions
Règle générale
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
$a, c$

numérateurs

$b, d$

dénominateurs

Valable quand b ≠ 0 et d ≠ 0

Méthode
Les dénominateurs sont-ils égaux ? Si oui, additionne directement les numérateurs → étape 3.

Sinon, trouve le PPCM (ou un multiple commun) des dénominateurs.

Convertis chaque fraction : multiplie numérateur ET dénominateur par le même nombre.

Additionne les numérateurs, garde le dénominateur commun.

Simplifie la fraction si possible.

Exemple
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$ — dénominateurs différents, PPCM = 12

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{3 + 8}{12} = \dfrac{11}{12}$

→ $\dfrac{11}{12}$ (déjà simplifiée)

⚠ Attention
Ne jamais additionner les dénominateurs !
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \neq \frac{3}{7}$
Seuls les numérateurs s'additionnent, une fois le dénominateur commun trouvé.

Pense aussi à simplifier le résultat final.
5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Développer avec la distributivité
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PVKRPU
JeRaisonne
Technique de calcul
Développer avec la distributivité
Quand l’utiliser ?
Tu vois un facteur × (somme ou différence) → développe pour supprimer les parenthèses.

Règles
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Exemple
Développer $3(2x+5)$

$3(2x+5)$ : $3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$

$\Rightarrow 3(2x+5) = 6x + 15$

⚠ Attention
Piège 1 : oublier un terme → $3(2x+5) \neq 6x+5$ ✗ (il faut multiplier tous les termes).

Piège 2 : signe $-$ devant → $-2(x-4) \neq -2x-8$ ✗ ( $-\times- = +$ , le signe change !).
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Distributivité avec un facteur négatif
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YG8E6F
JeRaisonne
Technique de calcul
Distributivité avec un facteur négatif
Quand l’utiliser ?
Le facteur devant la parenthèse est négatif (ex. : $-3(…)$ , $-(…)$ , $-2x(…)$ ).

Règle générale
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
$a$

facteur extérieur (positif)

$b, c, d, e$

termes à l'intérieur

Multiplier par un facteur négatif inverse le signe de chaque terme.

Méthode
Repère le facteur négatif devant la parenthèse.

Multiplie-le par chaque terme un à un.

Applique la règle des signes : $(-) \times (+) = (-)$ et $(-) \times (-) = (+)$ .

Réécris tous les termes obtenus, puis réduis si possible.

Règle des signes à l'intérieur
Signe dans ( )

Facteur ext.

Signe résultat

$+$

$-a$

$-$

$-$

$-a$

$+$

Exemple
Développer $-3(2x - 5 + x - 1)$

$-3 \times 2x = -6x$

$-3 \times (-5) = +15$

$-3 \times x = -3x$

$-3 \times (-1) = +1$

On assemble : $-6x + 15 - 3x + 1$

→ $-9x + 16$

⚠ Attention
Oublier de changer le signe d'un terme — surtout ceux déjà négatifs à l'intérieur.

$-$ dans $( )$ → devient $+$ à l'extérieur $+$ dans $( )$ → devient $-$ à l'extérieur

Vérifie chaque terme, un par un, sans en sauter.
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Double distributivité (développer un produit)
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/BRWETR
JeRaisonne
Technique de calcul
Double distributivité (développer un produit)
Règle
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
$a, b$

termes du 1er facteur

$c, d$

termes du 2e facteur

4 produits au total, puis on réduit les termes semblables.

Méthode
Repère les deux facteurs entre parenthèses.

Multiplie le 1er terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Multiplie le 2e terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Écris les 4 produits en conservant les signes.

Réduis les termes semblables.

Exemple
Développer $(x+3)(x-5)$

$x \times x = x^2$

$x \times (-5) = -5x$

$3 \times x = +3x$

$3 \times (-5) = -15$

On regroupe : $x^2 - 5x + 3x - 15$

→ $x^2 - 2x - 15$

⚠ Attention
Oublier les termes croisés : $(a+b)(c+d) \ \neq\ ac + bd$ .

Signe du dernier terme : deux termes négatifs donnent un produit positif. $(x-3)(x-2) \Rightarrow (-3)\times(-2) = +6$ , pas $-6$ .
4ème → 2ndeXP MAX#Théorème#Géométrie
Théorème de Pythagore
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/E5WMSW
JeRaisonne
Théorème
Théorème de Pythagore
Si triangle rectangle en C
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB$

hypoténuse (côté opposé à l'angle droit)

$AC, BC$

les deux autres côtés

Valable uniquement si le triangle est rectangle en C

Méthode
Repérer l'angle droit → le côté opposé est l'hypoténuse (le plus grand).

Écrire : hypoténuse² = côté₁² + côté₂²

Calculer et conclure.

Exemple
Le triangle a les côtés 4, 5 et 6. Est-il rectangle ?

Plus grand côté : 6 → tester 6² et 4² + 5²

6² = 36 et 4² + 5² = 16 + 25 = 41

36 ≠ 41

→ Ce triangle n'est pas rectangle.

⚠ Attention
Toujours mettre le plus grand côté seul à gauche. Sinon le calcul est faux.

Signe dans ( )	Facteur ext.	Signe résultat
$+$	$-a$	$-$
$-$	$-a$	$+$

3ème7 cartes

5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Calcul numérique
Additionner des fractions
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/WBC3SP
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner des fractions
Règle générale
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
$a, c$

numérateurs

$b, d$

dénominateurs

Valable quand b ≠ 0 et d ≠ 0

Méthode
Les dénominateurs sont-ils égaux ? Si oui, additionne directement les numérateurs → étape 3.

Sinon, trouve le PPCM (ou un multiple commun) des dénominateurs.

Convertis chaque fraction : multiplie numérateur ET dénominateur par le même nombre.

Additionne les numérateurs, garde le dénominateur commun.

Simplifie la fraction si possible.

Exemple
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$ — dénominateurs différents, PPCM = 12

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{3 + 8}{12} = \dfrac{11}{12}$

→ $\dfrac{11}{12}$ (déjà simplifiée)

⚠ Attention
Ne jamais additionner les dénominateurs !
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \neq \frac{3}{7}$
Seuls les numérateurs s'additionnent, une fois le dénominateur commun trouvé.

Pense aussi à simplifier le résultat final.
5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Développer avec la distributivité
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PVKRPU
JeRaisonne
Technique de calcul
Développer avec la distributivité
Quand l’utiliser ?
Tu vois un facteur × (somme ou différence) → développe pour supprimer les parenthèses.

Règles
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Exemple
Développer $3(2x+5)$

$3(2x+5)$ : $3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$

$\Rightarrow 3(2x+5) = 6x + 15$

⚠ Attention
Piège 1 : oublier un terme → $3(2x+5) \neq 6x+5$ ✗ (il faut multiplier tous les termes).

Piège 2 : signe $-$ devant → $-2(x-4) \neq -2x-8$ ✗ ( $-\times- = +$ , le signe change !).
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Distributivité avec un facteur négatif
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YG8E6F
JeRaisonne
Technique de calcul
Distributivité avec un facteur négatif
Quand l’utiliser ?
Le facteur devant la parenthèse est négatif (ex. : $-3(…)$ , $-(…)$ , $-2x(…)$ ).

Règle générale
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
$a$

facteur extérieur (positif)

$b, c, d, e$

termes à l'intérieur

Multiplier par un facteur négatif inverse le signe de chaque terme.

Méthode
Repère le facteur négatif devant la parenthèse.

Multiplie-le par chaque terme un à un.

Applique la règle des signes : $(-) \times (+) = (-)$ et $(-) \times (-) = (+)$ .

Réécris tous les termes obtenus, puis réduis si possible.

Règle des signes à l'intérieur
Signe dans ( )

Facteur ext.

Signe résultat

$+$

$-a$

$-$

$-$

$-a$

$+$

Exemple
Développer $-3(2x - 5 + x - 1)$

$-3 \times 2x = -6x$

$-3 \times (-5) = +15$

$-3 \times x = -3x$

$-3 \times (-1) = +1$

On assemble : $-6x + 15 - 3x + 1$

→ $-9x + 16$

⚠ Attention
Oublier de changer le signe d'un terme — surtout ceux déjà négatifs à l'intérieur.

$-$ dans $( )$ → devient $+$ à l'extérieur $+$ dans $( )$ → devient $-$ à l'extérieur

Vérifie chaque terme, un par un, sans en sauter.
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Double distributivité (développer un produit)
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/BRWETR
JeRaisonne
Technique de calcul
Double distributivité (développer un produit)
Règle
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
$a, b$

termes du 1er facteur

$c, d$

termes du 2e facteur

4 produits au total, puis on réduit les termes semblables.

Méthode
Repère les deux facteurs entre parenthèses.

Multiplie le 1er terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Multiplie le 2e terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Écris les 4 produits en conservant les signes.

Réduis les termes semblables.

Exemple
Développer $(x+3)(x-5)$

$x \times x = x^2$

$x \times (-5) = -5x$

$3 \times x = +3x$

$3 \times (-5) = -15$

On regroupe : $x^2 - 5x + 3x - 15$

→ $x^2 - 2x - 15$

⚠ Attention
Oublier les termes croisés : $(a+b)(c+d) \ \neq\ ac + bd$ .

Signe du dernier terme : deux termes négatifs donnent un produit positif. $(x-3)(x-2) \Rightarrow (-3)\times(-2) = +6$ , pas $-6$ .

Signe dans ( )	Facteur ext.	Signe résultat
$+$	$-a$	$-$
$-$	$-a$	$+$

3èmeXP MAX#Méthode#Algèbre

Factoriser une expression algébrique

Cherche un facteur commun à tous les termes et mets-le en évidence.

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/RAP84V

Méthode

Factoriser une expression algébrique

Quand l’utiliser ?

Simplifier une fraction algébrique
Résoudre une équation en cherchant un produit nul
Réécrire une expression comme un produit

Identités remarquables

Forme (somme)	Factorisation (produit)
$ka + kb$	$k(a+b)$
$a^2 - b^2$	$(a-b)(a+b)$
$a^2 + 2ab + b^2$	$(a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2$	$(a-b)^2$

Méthode

Cherche un facteur commun à tous les termes et mets-le en évidence.
Reconnais une identité remarquable dans ce qui reste.
Répète si possible (factorisation complète).
Vérifie en développant le résultat.

Exemple

Factorise $3x^2 - 12$

Facteur commun 3 : $3(x^2 - 4)$

Différence de carrés ( $x^2 - 2^2$ ) : $3(x-2)(x+2)$

→ $3(x-2)(x+2)$

⚠ Attention

Factoriser complètement ! $3(x^2-4)$ n'est pas fini → il faut encore factoriser $x^2-4$ .

Signe − en facteur : $-(a-b) = -a+b$ , pas $-a-b$ .

Ne pas confondre : factoriser → produit ; développer → somme.

3ème → 2ndeXP MAX#Identité remarquable#Algèbre
Identité remarquable : différence de carrés
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/Z9QYPK
JeRaisonne
Identité remarquable
Identité remarquable : différence de carrés
Différence de carrés
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$a$

premier terme (sa racine carrée)

$b$

deuxième terme (sa racine carrée)

Quand l’utiliser ?
Factoriser : tu vois $A - B$ où $A$ et $B$ sont des carrés. Développer : tu vois un produit $(a-b)(a+b)$ .

Méthode — Factoriser
Repère les deux termes séparés par un « − ».

Vérifie que chaque terme est un carré : écris-les sous la forme $a^2$ et $b^2$ .

Applique : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Exemple
Factoriser $4x^2 - 25$

$4x^2 = (2x)^2$ et $25 = 5^2$

Donc $a = 2x$ , $b = 5$

$4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)$

→ $(2x-5)(2x+5)$

⚠ Attention
$a^2 + b^2$ ne se factorise pas ! La formule exige une différence (signe « − »), pas une somme. Vérifie toujours que les deux termes sont bien des carrés avant d'appliquer.
4ème → 2ndeXP MAX#Théorème#Géométrie
Théorème de Pythagore
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/E5WMSW
JeRaisonne
Théorème
Théorème de Pythagore
Si triangle rectangle en C
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB$

hypoténuse (côté opposé à l'angle droit)

$AC, BC$

les deux autres côtés

Valable uniquement si le triangle est rectangle en C

Méthode
Repérer l'angle droit → le côté opposé est l'hypoténuse (le plus grand).

Écrire : hypoténuse² = côté₁² + côté₂²

Calculer et conclure.

Exemple
Le triangle a les côtés 4, 5 et 6. Est-il rectangle ?

Plus grand côté : 6 → tester 6² et 4² + 5²

6² = 36 et 4² + 5² = 16 + 25 = 41

36 ≠ 41

→ Ce triangle n'est pas rectangle.

⚠ Attention
Toujours mettre le plus grand côté seul à gauche. Sinon le calcul est faux.

2nde6 cartes

5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Calcul numérique
Additionner des fractions
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/WBC3SP
JeRaisonne
Technique de calcul
Additionner des fractions
Règle générale
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d + c \times b}{b \times d}$
$a, c$

numérateurs

$b, d$

dénominateurs

Valable quand b ≠ 0 et d ≠ 0

Méthode
Les dénominateurs sont-ils égaux ? Si oui, additionne directement les numérateurs → étape 3.

Sinon, trouve le PPCM (ou un multiple commun) des dénominateurs.

Convertis chaque fraction : multiplie numérateur ET dénominateur par le même nombre.

Additionne les numérateurs, garde le dénominateur commun.

Simplifie la fraction si possible.

Exemple
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{3}$ — dénominateurs différents, PPCM = 12

$\dfrac{1}{4} = \dfrac{1 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{3}{12}$

$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2 \times 4}{3 \times 4} = \dfrac{8}{12}$

$\dfrac{3}{12} + \dfrac{8}{12} = \dfrac{3 + 8}{12} = \dfrac{11}{12}$

→ $\dfrac{11}{12}$ (déjà simplifiée)

⚠ Attention
Ne jamais additionner les dénominateurs !
$\frac{1}{4}+\frac{2}{3} \neq \frac{3}{7}$
Seuls les numérateurs s'additionnent, une fois le dénominateur commun trouvé.

Pense aussi à simplifier le résultat final.
5ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Développer avec la distributivité
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/PVKRPU
JeRaisonne
Technique de calcul
Développer avec la distributivité
Quand l’utiliser ?
Tu vois un facteur × (somme ou différence) → développe pour supprimer les parenthèses.

Règles
$a(b+c) = ab + ac \\ a(b-c) = ab - ac \\ -a(b+c) = -ab - ac$
Exemple
Développer $3(2x+5)$

$3(2x+5)$ : $3 \times 2x = 6x$ et $3 \times 5 = 15$

$\Rightarrow 3(2x+5) = 6x + 15$

⚠ Attention
Piège 1 : oublier un terme → $3(2x+5) \neq 6x+5$ ✗ (il faut multiplier tous les termes).

Piège 2 : signe $-$ devant → $-2(x-4) \neq -2x-8$ ✗ ( $-\times- = +$ , le signe change !).
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Distributivité avec un facteur négatif
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/YG8E6F
JeRaisonne
Technique de calcul
Distributivité avec un facteur négatif
Quand l’utiliser ?
Le facteur devant la parenthèse est négatif (ex. : $-3(…)$ , $-(…)$ , $-2x(…)$ ).

Règle générale
$-a(b - c + d - e) = -ab + ac - ad + ae$
$a$

facteur extérieur (positif)

$b, c, d, e$

termes à l'intérieur

Multiplier par un facteur négatif inverse le signe de chaque terme.

Méthode
Repère le facteur négatif devant la parenthèse.

Multiplie-le par chaque terme un à un.

Applique la règle des signes : $(-) \times (+) = (-)$ et $(-) \times (-) = (+)$ .

Réécris tous les termes obtenus, puis réduis si possible.

Règle des signes à l'intérieur
Signe dans ( )

Facteur ext.

Signe résultat

$+$

$-a$

$-$

$-$

$-a$

$+$

Exemple
Développer $-3(2x - 5 + x - 1)$

$-3 \times 2x = -6x$

$-3 \times (-5) = +15$

$-3 \times x = -3x$

$-3 \times (-1) = +1$

On assemble : $-6x + 15 - 3x + 1$

→ $-9x + 16$

⚠ Attention
Oublier de changer le signe d'un terme — surtout ceux déjà négatifs à l'intérieur.

$-$ dans $( )$ → devient $+$ à l'extérieur $+$ dans $( )$ → devient $-$ à l'extérieur

Vérifie chaque terme, un par un, sans en sauter.
4ème → 2ndeXP MAX#Technique de calcul#Algèbre
Double distributivité (développer un produit)
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/BRWETR
JeRaisonne
Technique de calcul
Double distributivité (développer un produit)
Règle
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
$a, b$

termes du 1er facteur

$c, d$

termes du 2e facteur

4 produits au total, puis on réduit les termes semblables.

Méthode
Repère les deux facteurs entre parenthèses.

Multiplie le 1er terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Multiplie le 2e terme du 1er facteur par chacun du 2e.

Écris les 4 produits en conservant les signes.

Réduis les termes semblables.

Exemple
Développer $(x+3)(x-5)$

$x \times x = x^2$

$x \times (-5) = -5x$

$3 \times x = +3x$

$3 \times (-5) = -15$

On regroupe : $x^2 - 5x + 3x - 15$

→ $x^2 - 2x - 15$

⚠ Attention
Oublier les termes croisés : $(a+b)(c+d) \ \neq\ ac + bd$ .

Signe du dernier terme : deux termes négatifs donnent un produit positif. $(x-3)(x-2) \Rightarrow (-3)\times(-2) = +6$ , pas $-6$ .
3ème → 2ndeXP MAX#Identité remarquable#Algèbre
Identité remarquable : différence de carrés
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/Z9QYPK
JeRaisonne
Identité remarquable
Identité remarquable : différence de carrés
Différence de carrés
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$
$a$

premier terme (sa racine carrée)

$b$

deuxième terme (sa racine carrée)

Quand l’utiliser ?
Factoriser : tu vois $A - B$ où $A$ et $B$ sont des carrés. Développer : tu vois un produit $(a-b)(a+b)$ .

Méthode — Factoriser
Repère les deux termes séparés par un « − ».

Vérifie que chaque terme est un carré : écris-les sous la forme $a^2$ et $b^2$ .

Applique : $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Exemple
Factoriser $4x^2 - 25$

$4x^2 = (2x)^2$ et $25 = 5^2$

Donc $a = 2x$ , $b = 5$

$4x^2 - 25 = (2x-5)(2x+5)$

→ $(2x-5)(2x+5)$

⚠ Attention
$a^2 + b^2$ ne se factorise pas ! La formule exige une différence (signe « − »), pas une somme. Vérifie toujours que les deux termes sont bien des carrés avant d'appliquer.
4ème → 2ndeXP MAX#Théorème#Géométrie
Théorème de Pythagore
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/E5WMSW
JeRaisonne
Théorème
Théorème de Pythagore
Si triangle rectangle en C
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AB$

hypoténuse (côté opposé à l'angle droit)

$AC, BC$

les deux autres côtés

Valable uniquement si le triangle est rectangle en C

Méthode
Repérer l'angle droit → le côté opposé est l'hypoténuse (le plus grand).

Écrire : hypoténuse² = côté₁² + côté₂²

Calculer et conclure.

Exemple
Le triangle a les côtés 4, 5 et 6. Est-il rectangle ?

Plus grand côté : 6 → tester 6² et 4² + 5²

6² = 36 et 4² + 5² = 16 + 25 = 41

36 ≠ 41

→ Ce triangle n'est pas rectangle.

⚠ Attention
Toujours mettre le plus grand côté seul à gauche. Sinon le calcul est faux.

Signe dans ( )	Facteur ext.	Signe résultat
$+$	$-a$	$-$
$-$	$-a$	$+$

1ère1 carte

1èreXP MAX#Méthode#Algèbre
Résoudre une équation du 2nd degré
Réécrire l'équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$ (tout à gauche, $=0$ à droite).

Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/CWB8JQ
JeRaisonne
Méthode
Résoudre une équation du 2nd degré
Quand l’utiliser ?
L'équation contient un $x^2$ et peut se ramener à $ax^2+bx+c=0$ avec $a\neq 0$ .

Méthode
Réécrire l'équation sous la forme $ax^2+bx+c=0$ (tout à gauche, $=0$ à droite).

Identifier $a$ , $b$ , $c$ puis calculer $\Delta=b^2-4ac$ .

Si $\Delta<0$ : aucune solution réelle.

Si $\Delta=0$ : une solution $x_0=-\dfrac{b}{2a}$ .

Si $\Delta>0$ : deux solutions $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ .

Bilan selon $\Delta$
$\Delta$

Solutions réelles

$\Delta < 0$

Aucune

$\Delta = 0$

$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$

$\Delta > 0$

$x_1$ et $x_2$

Exemple
Résoudre $2x^2-5x+3=0$

$a=2,\ b=-5,\ c=3$

$\Delta=(-5)^2-4\times2\times3=25-24=1>0$

$x_1=\dfrac{5-1}{4}=1$ , $x_2=\dfrac{5+1}{4}=\dfrac{3}{2}$

→ $S=\left\{1\ ;\ \dfrac{3}{2}\right\}$

⚠ Attention
Mettre = 0 en premier avant de lire $a$ , $b$ , $c$ . — Si $b<0$ , alors $b^2>0$ (ne pas oublier le carré). — La racine double $x_0=-\frac{b}{2a}$ n'est pas l'une des deux racines distinctes.

$\Delta$	Solutions réelles
$\Delta < 0$	Aucune
$\Delta = 0$	$x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
$\Delta > 0$	$x_1$ et $x_2$

Terminale1 carte

TerminaleXP MAX#Schéma de raisonnement#Logique & démonstration
Raisonnement par récurrence
$\bigl[P(n_0)\text{ vraie}\bigr] \;\text{et}\; \bigl[\forall n\geq n_0,\; P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr] \;\Longrightarrow\; \forall n\geq n_0,\; P(n)\text{ vraie}$
Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/CJEEHZ
JeRaisonne
Schéma de raisonnement
Raisonnement par récurrence
Quand l’utiliser ?
Utiliser quand on veut démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ (formule, inégalité, divisibilité…).

Définir la propriété
Poser explicitement : Soit $P(n)$ la propriété : « … » (remplacer par l'énoncé précis à démontrer, exprimé en fonction de $n$ ).

Principe de récurrence
$\bigl[P(n_0)\text{ vraie}\bigr] \;\text{et}\; \bigl[\forall n\geq n_0,\; P(n)\Rightarrow P(n+1)\bigr] \;\Longrightarrow\; \forall n\geq n_0,\; P(n)\text{ vraie}$
$P(n)$
propriété dépendant de l'entier $n$

$n_0$
rang de départ (souvent 0 ou 1)

Méthode en 3 étapes
Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie (calcul explicite).

Hérédité : écrire « Supposons $P(n)$ vraie pour un entier $n \geq n_0$ fixé quelconque (HR) », puis démontrer $P(n+1)$ .

Conclusion : « Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$ . »

Exemple
Montrons $P(n)$ : « $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ » pour tout $n \geq 1$ .

Init. ( $n_0=1$ ) : $\sum_{k=1}^{1}k = 1 = \frac{1\times 2}{2}$ ✓

Hér. : Supposons $\sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}$ (HR). Alors $\sum_{k=1}^{n+1}k = \frac{n(n+1)}{2}+(n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ ✓

Ccl. : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout $n\geq 1$ .

⚠ Attention
• Initialisation absente → démonstration invalide. • HR non écrite avant d'être utilisée → faute rédactionnelle. • Conclusion oubliée → points perdus en copie. • Erreur de logique : on suppose $P(n)$ pour démontrer…

Les SKILLCARDS, les compétences à collectionner et maîtriser.

6ème4 cartes

Carrés des entiers de 1 à 20

Le 1, neutre de la multiplication

Table de multiplication de 9

Table de multiplication par 8

5ème4 cartes

Additionner des fractions

Carrés des entiers de 1 à 20

Développer avec la distributivité

Le 1, neutre de la multiplication

4ème5 cartes

Additionner des fractions

Développer avec la distributivité

Distributivité avec un facteur négatif

Double distributivité (développer un produit)

Théorème de Pythagore

3ème7 cartes

Additionner des fractions

Développer avec la distributivité

Distributivité avec un facteur négatif

Double distributivité (développer un produit)

Factoriser une expression algébrique

Identité remarquable : différence de carrés

Théorème de Pythagore

2nde6 cartes

Additionner des fractions

Développer avec la distributivité

Distributivité avec un facteur négatif

Double distributivité (développer un produit)

Identité remarquable : différence de carrés

Théorème de Pythagore

1ère1 carte

Résoudre une équation du 2nd degré

Terminale1 carte

Raisonnement par récurrence