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SKILLCARD « Somme directe et sous-espaces supplémentaires » — MPSI à PTSI

SKILLCARD · Propriété

Somme directe et sous-espaces supplémentaires — MPSI à PTSI

  • Maths prépa
  • Algèbre linéaire
  • MPSI
  • PTSI
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Exercices reliés, progression et HORA dans l’app JeRaisonne — le premier exercice est gratuit.

Quand l’utiliser ?

Pour décomposer un vecteur de façon unique sur deux sous-espaces, ou montrer que E=F⊕GE = F \oplus G.

La règle

La somme F+GF + G est directe ssi F∩G={0}F \cap G = \{0\}. FF et GG sont supplémentaires dans EE (E=F⊕GE = F \oplus G) ssi tout x∈Ex \in E s'écrit de façon unique x=f+gx = f + g, f∈Ff \in F, g∈Gg \in G. En dimension finie : E=F⊕G  ⟺  F∩G={0}E = F \oplus G \iff F \cap G = \{0\} et dim⁡F+dim⁡G=dim⁡E\dim F + \dim G = \dim E.

La méthode

  1. Montre F∩G={0}F \cap G = \{0\}.
  2. Montre E=F+GE = F + G (analyse-synthèse) ou, en dimension finie, compare les dimensions.

Exemple

Dans F(R,R)\mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}), fonctions paires ⊕\oplus impaires : f(x)=f(x)+f(−x)2+f(x)−f(−x)2f(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2} + \frac{f(x)-f(-x)}{2}.

Les pièges à éviter

Supplémentaire ≠ complémentaire : F∪G≠EF \cup G \neq E ; un sous-espace a en général une infinité de supplémentaires.

La méthode HORA dans chaque Skill Card.

Chaque Skill Card te guide avec la méthode HORA pour réussir les exercices, faire progresser et entretenir ton niveau de maîtrise.

  1. Hypothèse

    Je comprends l’énoncé, j’identifie ce qu’on cherche et les informations données.

  2. Outil

    Je choisis l’outil mathématique adapté (définition, propriété, théorème, formule…).

  3. Raisonnement

    Je justifie pourquoi cet outil est pertinent et je construis ma démarche.

  4. Application

    J’applique la méthode au problème et je conclus en vérifiant le résultat.

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