Projecteurs et symétries — MPSI

Pour reconnaître un projecteur ou une symétrie et retrouver ses éléments caractéristiques.

$p$ est un projecteur ssi $p \circ p = p$ ; alors $E = \operatorname{Im} p \oplus \ker p$ et $p$ projette sur $\operatorname{Im} p = \ker(p - \mathrm{Id})$ parallèlement à $\ker p$. $s$ est une symétrie ssi $s \circ s = \mathrm{Id}$ ; alors $E = \ker(s - \mathrm{Id}) \oplus \ker(s + \mathrm{Id})$, et $p = \frac{1}{2}(s + \mathrm{Id})$ est le projecteur associé.

1. Calcule $p \circ p$ (ou $s \circ s$).
2. Base de $\operatorname{Im} p = \ker(p - \mathrm{Id})$ et de $\ker p$.
3. Conclus : projection sur $\operatorname{Im} p$ parallèlement à $\ker p$.

$p(x,y) = (x + y, 0)$ : $p \circ p = p$, $\operatorname{Im} p = \mathrm{Vect}(1,0)$, $\ker p = \mathrm{Vect}(1,-1)$.

La direction de projection est $\ker p$, pas forcément orthogonale à $\operatorname{Im} p$ ; un projecteur n'est inversible que s'il vaut $\mathrm{Id}$.