Produit matriciel et puissances — MPSI à PTSI

Pour calculer $A^n$ (suites récurrentes linéaires, matrices nilpotentes).

$(A+B)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} A^k B^{n-k}$ — Seulement si $AB = BA$. Si $N^p = 0$, la somme s'arrête à $k = p - 1$.

1. Écrire $A = \lambda I + N$ avec $N$ nilpotente.
2. $I$ commute avec $N$ : appliquer le binôme.
3. Tronquer grâce à $N^p = 0$.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I + N$, $N^2 = 0$ ⇒ $A^n = I + nN = \begin{pmatrix} 1 & n \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

Le produit matriciel n'est pas commutatif : $(A+B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2$.