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Formule des probabilités totales — 1ère à Terminale

Maths Spécialité
Probabilités
1ère
Terminale

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1ère → TerminaleHORA#Théorème#Probabilités
Formule des probabilités totales
$P(B) = P(A)\,P_A(B) + P(\bar{A})\,P_{\bar{A}}(B)$
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JeRaisonne
Théorème
Formule des probabilités totales
$P(B) = P(A)\,P_A(B) + P(\bar{A})\,P_{\bar{A}}(B)$
Exemple
M1 : 60 %, 2 % défauts ; M2 : 40 %, 5 %

$0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05$

→ $P(D) = 0{,}032$

Puis $P_D(M_1) = \frac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375$ .

⚠ Attention
N'oublie aucun chemin vers B.

Quand l’utiliser ?

Pour calculer la probabilité d'un événement B qui peut se produire de plusieurs façons (selon A ou non A, selon plusieurs machines…).

La règle

Si $A_1, \dots, A_n$ forment une partition de l'univers (incompatibles deux à deux, de réunion Ω), alors $P(B) = P(A_1 \cap B) + \dots + P(A_n \cap B) = \sum P(A_i) P_{A_i}(B)$ . Cas usuel : $P(B) = P(A)P_A(B) + P(\bar{A})P_{\bar{A}}(B)$ .

La méthode

Dessine l'arbre pondéré.
Repère tous les chemins menant à B.
Multiplie le long de chaque chemin, puis additionne.
Pour « sachant B » : $P_B(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}$ .

Exemple

Machine 1 : 60 % de la production, 2 % de défauts ; machine 2 : 40 %, 5 % de défauts. $P(D) = 0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05 = 0{,}032$ .

Les pièges à éviter

Les événements $A_i$ doivent former une partition ; oublier un chemin fausse le résultat.

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Hypothèse
Je comprends l’énoncé, j’identifie ce qu’on cherche et les informations données.
Outil
Je choisis l’outil mathématique adapté (définition, propriété, théorème, formule…).
Raisonnement
Je justifie pourquoi cet outil est pertinent et je construis ma démarche.
Application
J’applique la méthode au problème et je conclus en vérifiant le résultat.

Formule des probabilités totales — 1ère à Terminale