Loi géométrique — Terminale

Pour le rang du premier succès dans une répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes (premier 6, premier client…).

Si $X$ est le rang du premier succès (probabilité $p$ à chaque essai) : $P(X = k) = (1 - p)^{k-1}p$ pour $k \geq 1$ ; $P(X > k) = (1 - p)^k$ ; $E(X) = \frac1p$. Loi sans mémoire : $P_{X > m}(X > m + k) = P(X > k)$.

1. Vérifie : épreuves identiques, indépendantes, on attend le 1er succès.
2. $P(X = k)$ : $k - 1$ échecs puis un succès.
3. $P(X > k)$ : $k$ échecs.

Dé, premier 6 : $P(X = 3) = \left(\frac56\right)^2 \frac16 = \frac{25}{216}$ ; $E(X) = 6$.

$P(X = k)$ comporte $k - 1$ échecs (pas $k$) ; $E(X) = \frac1p$, pas $p$.