Fonctions paires et impaires — 2nde à 1ère

Pour réduire l'étude d'une fonction à $[0 ; +\infty[$ et tracer sa courbe par symétrie.

Sur un domaine symétrique par rapport à 0 : $f$ est paire si $f(-x) = f(x)$ (courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées) ; impaire si $f(-x) = -f(x)$ (courbe symétrique par rapport à l'origine).

1. Vérifie que le domaine est symétrique (si $x \in \mathcal{D}$, alors $-x \in \mathcal{D}$).
2. Calcule $f(-x)$ et simplifie.
3. Compare à $f(x)$ et à $-f(x)$. Ni l'un ni l'autre : ni paire ni impaire (un contre-exemple numérique suffit).

$x^2$, $|x|$ : paires. $x^3$, $\dfrac{1}{x}$ : impaires. $x^2 + x$ : ni l'une ni l'autre ($f(1) = 2$, $f(-1) = 0$).

Une fonction n'est pas forcément paire ou impaire ; et $\sqrt{x}$ ne peut pas l'être (domaine non symétrique).