Comparaison série-intégrale — MPSI à PTSI

Pour la nature d'une série ou un équivalent de ses sommes partielles, avec $f$ monotone.

$\int_{k}^{k+1} f \leq f(k) \leq \int_{k-1}^{k} f$ — $f$ continue décroissante positive.

1. Encadrer $f(k)$ par deux intégrales.
2. Sommer pour encadrer $S_n$.
3. Conclure (nature ou équivalent).

$H_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k}$ : $\ln(n+1) \leq H_n \leq 1 + \ln n$ ⇒ $H_n \sim \ln n$

Vérifier la monotonie de $f$ avant d'encadrer.