Suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) : limite et point fixe — Terminale

Pour trouver la limite d'une suite $u_{n+1} = f(u_n)$ dont on sait qu'elle converge.

Si $u_{n+1} = f(u_n)$, si $(u_n)$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$, alors $\ell = f(\ell)$ : la limite est un point fixe de $f$.

1. Prouve la convergence (souvent convergence monotone + récurrence).
2. Résous $f(\ell) = \ell$.
3. Choisis la solution compatible avec les bornes de la suite.

$u_0 = 1$, $u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}$, croissante majorée par 2 : $\ell = \sqrt{\ell + 2} \Rightarrow \ell^2 - \ell - 2 = 0 \Rightarrow \ell = 2$ (ou −1, exclu car $u_n \geq 1$).

Résoudre $f(\ell) = \ell$ ne prouve pas la convergence ; il peut y avoir plusieurs points fixes : choisis avec les bornes.