Sens de variation d'une suite — 1ère à Terminale

Pour savoir si une suite augmente ou diminue, avant d'étudier sa limite ou de chercher un seuil.

$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1} \geq u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1} \leq u_n$. Trois méthodes : signe de $u_{n+1} - u_n$ ; comparaison de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1 (termes strictement positifs) ; si $u_n = f(n)$, variations de $f$ sur $[0 ; +\infty[$.

1. Calcule $u_{n+1} - u_n$ et simplifie.
2. Étudie son signe pour tout $n$.
3. Conclus ; pour des termes positifs à produits/puissances, préfère le quotient.

$u_n = n^2 - 3n$ : $u_{n+1} - u_n = 2n - 2 \geq 0$ pour $n \geq 1$ : croissante à partir du rang 1. $v_n = 3 \times 0{,}8^n$ : $\dfrac{v_{n+1}}{v_n} = 0{,}8 < 1$ : décroissante.

Comparer seulement $u_0$ et $u_1$ ne suffit pas ; et une suite peut n'être ni croissante ni décroissante.