Récurrence : identifier la propriété P(n) — 1ère à Terminale

Au tout début d'une démonstration par récurrence, avant l'initialisation et l'hérédité.

$P(n)$ doit dépendre de $n$, être précisément formulée, et $P(n+1)$ s'obtient mécaniquement en substituant $n \leftarrow n+1$ dans $P(n)$.

1. Lis l'énoncé et repère ce qu'on te demande de montrer pour tout entier $n$.
2. Nomme $P(n)$ la proposition dépendant de $n$ à prouver (une phrase ou une égalité/inégalité avec $n$ comme paramètre).
3. Vérifie que $P(n)$ est une proposition : elle doit être soit vraie, soit fausse pour chaque valeur de $n$.
4. Écris explicitement $P(n)$ sous forme d'une assertion (ex. : « $P(n)$ : ... »).
5. Déduis-en $P(n+1)$ en remplaçant formellement $n$ par $n+1$ dans $P(n)$.

Montrer que $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$. $P(n)$ : « $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ » $P(n+1)$ : « $\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1} k = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ »

Ne pas confondre $P(n)$ (la proposition) avec la formule seule : $P(n)$ est une égalité ou inégalité complète, pas juste un membre. Oublier d'écrire $P(n+1)$ explicitement avant de tenter l'hérédité.