Balayage et dichotomie — 2nde à Terminale

Pour approcher une solution de $f(x) = 0$ (ex. $\sqrt{2}$, solution de $x^2 = 2$) quand on ne sait pas la calculer exactement.

Dichotomie : si $f$ change de signe sur $[a ; b]$ (et est continue), on coupe l'intervalle en deux au milieu $m$ et on garde la moitié où $f$ change encore de signe. L'amplitude est divisée par 2 à chaque étape. Balayage : on teste des valeurs successives avec un pas fixe.

1. Trouve $[a ; b]$ avec $f(a)$ et $f(b)$ de signes contraires.
2. Calcule $m = \dfrac{a + b}{2}$.
3. Si $f(a) \times f(m) \leq 0$, la solution est dans $[a ; m]$ : $b \leftarrow m$ ; sinon $a \leftarrow m$.
4. Répète tant que $b - a$ est trop grand.

$\sqrt{2}$ : $f(x) = x^2 - 2$ sur $[1 ; 2]$. $m = 1{,}5$, $f(1{,}5) > 0$ → $[1 ; 1{,}5]$ ; $m = 1{,}25$, $f < 0$ → $[1{,}25 ; 1{,}5]$…

Après $n$ étapes l'amplitude est $\dfrac{b - a}{2^n}$ ; garder le bon demi-intervalle (là où le signe change).