Prouver que √2 est irrationnel — 2nde à 1ère

Pour comprendre et rédiger les démonstrations classiques par l'absurde du programme de 2nde.

Par l'absurde : on suppose $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ irréductible. Alors $p^2 = 2q^2$ : $p^2$ pair donc $p$ pair, $p = 2k$ ; d'où $q^2 = 2k^2$ : $q$ pair. Contradiction avec « irréductible ».

1. Supposer le contraire de ce qu'on veut prouver.
2. Traduire algébriquement (fraction irréductible, égalité).
3. Déduire jusqu'à une contradiction.
4. Conclure : l'hypothèse est fausse. (1/3 non décimal : si $\frac13 = \frac{a}{10^n}$, alors $3a = 10^n$, or $10^n$ n'est pas multiple de 3.)

Lemme utilisé : si $p^2$ est pair, alors $p$ est pair (contraposée de « $p$ impair ⇒ $p^2$ impair »).

La contradiction doit porter sur une hypothèse posée (ici l'irréductibilité), pas sur un résultat déjà admis.