Lois uniforme et exponentielle — Terminale

Pour modéliser un temps d'attente ou une durée de vie (exponentielle), ou un nombre « au hasard » dans un intervalle (uniforme).

Une densité $f$ est positive, d'intégrale 1 ; $P(c \leq X \leq d) = \int_c^d f$. Uniforme sur $[a ; b]$ : $f = \frac{1}{b - a}$, $P(c \leq X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$, $E = \frac{a + b}{2}$. Exponentielle de paramètre $\lambda$ : $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$ ($t \geq 0$), $P(X \leq t) = 1 - e^{-\lambda t}$, $P(X > t) = e^{-\lambda t}$, $E = \frac1\lambda$ ; sans mémoire : $P_{X > s}(X > s + t) = P(X > t)$.

1. Identifie la loi et son paramètre.
2. Uniforme : rapport de longueurs. Exponentielle : $P(X > t) = e^{-\lambda t}$.
3. Espérance : $\frac{a + b}{2}$ ou $\frac1\lambda$.

Durée de vie exponentielle d'espérance 1000 h : $\lambda = 0{,}001$, $P(X > 500) = e^{-0{,}5} \approx 0{,}61$.

Pour une loi à densité, $P(X = c) = 0$ ; $E = \frac1\lambda$, pas $\lambda$.