Bienaymé-Tchebychev, concentration, loi des grands nombres — Terminale

Pour majorer la probabilité qu'une variable s'écarte de son espérance, et dimensionner un échantillon.

Bienaymé-Tchebychev : pour tout $\delta > 0$, $P(|X - E(X)| \geq \delta) \leq \frac{V(X)}{\delta^2}$. Concentration (moyenne $M_n$) : $P(|M_n - \mu| \geq \delta) \leq \frac{\sigma^2}{n\delta^2}$. Loi des grands nombres : $\lim_{n \to +\infty} P(|M_n - \mu| \geq \delta) = 0$.

1. Identifie $E$, $V$ (ou $\mu$, $\sigma^2$, $n$).
2. Écris l'événement sous la forme $|X - E| \geq \delta$.
3. Applique l'inégalité ; pour la taille $n$, résous $\frac{\sigma^2}{n\delta^2} \leq \alpha$.

$E(X) = 50$, $V(X) = 25$ : $P(|X - 50| \geq 10) \leq \frac{25}{100} = 0{,}25$, donc $P(40 < X < 60) \geq 0{,}75$.

C'est une majoration (souvent grossière), pas une valeur exacte ; $\delta^2$ au dénominateur.