Loi binomiale — Terminale

Pour compter le nombre de succès sur $n$ épreuves identiques, indépendantes, à deux issues.

Si $X$ compte les succès d'un schéma de Bernoulli ($n$ épreuves, succès $p$), $X \sim \mathcal{B}(n, p)$ : $P(X = k) = \binom nk p^k(1 - p)^{n-k}$. $E(X) = np$, $V(X) = np(1 - p)$, $\sigma = \sqrt{np(1 - p)}$.

1. Justifie : $n$ épreuves identiques, indépendantes, deux issues.
2. Identifie $n$ et $p$.
3. $P(X = k)$ par la formule ; $P(X \leq k)$, $P(X \geq k)$ à la calculatrice (ou par complémentaire).

$X \sim \mathcal{B}(10 ; 0{,}3)$ : $P(X = 2) = \binom{10}{2}0{,}3^2 0{,}7^8 \approx 0{,}233$ ; $E(X) = 3$ ; $P(X \geq 1) = 1 - 0{,}7^{10} \approx 0{,}972$.

$P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k - 1)$, pas $1 - P(X \leq k)$ ; tirages sans remise : pas binomiale.