Division euclidienne des polynômes — MPSI à PTSI

Pour calculer un reste (souvent en évaluant aux racines du diviseur).

$A = BQ + R,\quad \deg R < \deg B$ — $B \neq 0$ ; $Q$ et $R$ uniques.

1. Le reste a un degré $< \deg B$ : l'écrire avec des coefficients inconnus.
2. Évaluer $A = BQ + R$ aux racines de $B$ pour les trouver.

Reste de $X^n$ par $X^2 - 1$ : $R = aX + b$, en $1$ : $a + b = 1$, en $-1$ : $-a + b = (-1)^n$ ⇒ $R = \frac{1 - (-1)^n}{2} X + \frac{1 + (-1)^n}{2}$

Racine double de $B$ : évaluer aussi la dérivée.