Décomposition en éléments simples — MPSI à PTSI

Pour primitiver une fraction rationnelle ou calculer des sommes télescopiques.

$\frac{P}{(X-a)(X-b)} = \frac{\alpha}{X-a} + \frac{\beta}{X-b},\quad \alpha = \frac{P(a)}{a-b}$ — Si $\deg P < \deg Q$ et pôles simples ; sinon partie entière d'abord.

1. Partie entière si $\deg P \geq \deg Q$.
2. Pôle simple $a$ : multiplier par $X - a$ puis évaluer en $a$.
3. Pôles multiples : évaluer en des points ou limite en $+\infty$.

$\frac{1}{X(X+1)}$ : $\alpha = 1$, $\beta = -1$ ⇒ $= \frac{1}{X} - \frac{1}{X+1}$

Sur $\mathbb{R}$, un facteur $X^2 + pX + q$ irréductible donne $\frac{aX + b}{X^2 + pX + q}$.