Dérivées partielles et gradient — MPSI à PTSI

Pour étudier la variation d'une fonction de deux variables dans chaque direction.

$\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x}(a), \frac{\partial f}{\partial y}(a)\right)$ — $f(a + h) = f(a) + \langle \nabla f(a), h \rangle + o(\|h\|)$ si $f$ est $\mathcal{C}^1$.

$f(x,y) = x^2 y + y^3$ : $\partial_x f = 2xy$, $\partial_y f = x^2 + 3y^2$ ⇒ $\nabla f(1,1) = (2, 4)$

Dériver par rapport à $x$, c'est traiter $y$ comme une constante.