Borne supérieure — MPSI à PTSI

Pour parler du « plus petit majorant » d'une partie de $\mathbb{R}$, même non atteint.

Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure.

$M = \sup A \iff$ $M$ majore $A$ et $\forall \varepsilon > 0,\ \exists a \in A,\ a > M - \varepsilon$.

$A = \{1 - \frac{1}{n} : n \geq 1\}$ : $1$ majore $A$ ; $1 - \frac{1}{n} > 1 - \varepsilon$ pour $n$ grand. ⇒ $\sup A = 1$, non atteint.

La borne supérieure n'est pas forcément un maximum (elle peut ne pas appartenir à $A$).