Comparaison et théorème des gendarmes — Terminale

Quand la suite contient un terme qui oscille ($\cos n$, $(-1)^n$, $\sin n$…) ou se compare facilement à une suite connue.

Comparaison : si $u_n \geq v_n$ à partir d'un rang et $v_n \to +\infty$, alors $u_n \to +\infty$ (idem vers $-\infty$ avec $u_n \leq w_n$). Gendarmes : si $v_n \leq u_n \leq w_n$ à partir d'un rang et $v_n$, $w_n$ ont la même limite $\ell$, alors $u_n \to \ell$.

1. Encadre le terme oscillant : $-1 \leq \cos n \leq 1$.
2. Fais les opérations sur l'encadrement (attention au signe en multipliant).
3. Conclus par gendarmes ou comparaison.

$-1 \leq (-1)^n \leq 1 \Rightarrow -\frac1n \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac1n$ : limite 0. $n + \cos n \geq n - 1 \to +\infty$.

Les deux gendarmes doivent avoir la même limite ; diviser un encadrement par un nombre négatif inverse les inégalités.