Suites récurrentes u_{n+1} = f(u_n) — MPSI à PTSI

Pour étudier la convergence d'une suite définie par récurrence.

Si $I$ est stable par $f$ et $f$ continue : une limite éventuelle $\ell$ vérifie $f(\ell) = \ell$.

$f$ croissante sur $I$ $\Rightarrow$ $(u_n)$ monotone.

1. Trouver un intervalle $I$ stable par $f$ contenant $u_0$.
2. Étudier la monotonie (signe de $f(x) - x$ ou sens de variation de $f$).
3. Conclure par limite monotone, puis résoudre $f(\ell) = \ell$.

$u_0 = 1$, $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$ : $[0,2]$ stable, $(u_n)$ croissante majorée. ⇒ $\ell = 2$

Si $f$ est décroissante, étudier les sous-suites $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$.