Vecteurs de l'espace : colinéarité, coplanarité — Terminale

Pour prouver un alignement (colinéarité) ou que quatre points sont dans un même plan (coplanarité).

$\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires s'il existe $k$ tel que $\vec v = k\vec u$ (coordonnées proportionnelles). $\vec u$, $\vec v$, $\vec w$ sont coplanaires s'il existe $a$, $b$ tels que $\vec w = a\vec u + b\vec v$ ($\vec u$, $\vec v$ non colinéaires). Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l'espace.

1. Coordonnées : $\overrightarrow{AB}(x_B - x_A ; y_B - y_A ; z_B - z_A)$.
2. Colinéarité : cherche $k$ commun aux trois coordonnées.
3. Coplanarité : résous $\vec w = a\vec u + b\vec v$ (système de 3 équations à 2 inconnues).

$\vec u(1 ; 2 ; -1)$, $\vec v(-2 ; -4 ; 2)$ : $\vec v = -2\vec u$, colinéaires. $\vec w(3 ; 4 ; 1) = \vec u + 2(1 ; 1 ; 1)$ : coplanaire avec $\vec u$ et $(1 ; 1 ; 1)$.

Dans l'espace, il faut vérifier la proportionnalité sur les trois coordonnées.