Équation cartésienne d'un plan — Terminale

Pour décrire un plan, tester l'appartenance d'un point, trouver l'intersection avec une droite.

Un plan de vecteur normal $\vec n(a ; b ; c)$ a une équation $ax + by + cz + d = 0$. Réciproquement, $\vec n(a ; b ; c)$ est normal au plan d'équation $ax + by + cz + d = 0$. Deux plans sont parallèles ⇔ vecteurs normaux colinéaires ; perpendiculaires ⇔ vecteurs normaux orthogonaux.

1. Trouve $\vec n$ (donné, ou orthogonal à deux vecteurs du plan).
2. Écris $ax + by + cz + d = 0$.
3. Trouve $d$ avec un point du plan.
4. Intersection avec une droite paramétrée : remplace $x, y, z$ en fonction de $t$.

Plan passant par $A(1 ; 2 ; 0)$ de normal $\vec n(2 ; -1 ; 3)$ : $2x - y + 3z + d = 0$, $2 - 2 + d = 0$ ⇒ $d = 0$ : $2x - y + 3z = 0$.

Le vecteur normal se lit dans les coefficients de $x, y, z$, pas dans $d$.