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SKILLCARD · Propriété

Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace — Terminale

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  • TerminaleHORA#Propriété#Géométrie dans l'espace

    Produit scalaire et orthogonalité dans l'espace

    u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′∥u⃗∥=x2+y2+z2\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz' \qquad \|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}
    Règle · Cours · Exercicesapp.jeraisonne.fr/c/EZU7ZT
    JeRaisonne

Quand l’utiliser ?

Pour prouver une orthogonalité, calculer une longueur ou un angle dans l'espace.

La règle

En repère orthonormé : u⃗⋅v⃗=xx′+yy′+zz′\vec u \cdot \vec v = xx' + yy' + zz', ∥u⃗∥=x2+y2+z2\|\vec u\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec u \perp \vec v \Leftrightarrow \vec u \cdot \vec v = 0. Une droite est orthogonale à un plan si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

La méthode

  1. Coordonnées des vecteurs.
  2. Produit scalaire xx′+yy′+zz′xx' + yy' + zz'.
  3. Nul ⇒ orthogonaux. Angle : cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥∥v⃗∥\cos\theta = \frac{\vec u \cdot \vec v}{\|\vec u\|\|\vec v\|}.

Exemple

u⃗(1;2;−1)\vec u(1 ; 2 ; -1), v⃗(3;−1;1)\vec v(3 ; -1 ; 1) : 3−2−1=03 - 2 - 1 = 0, orthogonaux. ABAB avec AB→(2;−1;2)\overrightarrow{AB}(2 ; -1 ; 2) : AB=3AB = 3.

Les pièges à éviter

La formule en coordonnées n'est valable qu'en repère orthonormé.

La méthode HORA dans chaque Skill Card.

Chaque Skill Card te guide avec la méthode HORA pour réussir les exercices, faire progresser et entretenir ton niveau de maîtrise.

  1. Hypothèse

    Je comprends l’énoncé, j’identifie ce qu’on cherche et les informations données.

  2. Outil

    Je choisis l’outil mathématique adapté (définition, propriété, théorème, formule…).

  3. Raisonnement

    Je justifie pourquoi cet outil est pertinent et je construis ma démarche.

  4. Application

    J’applique la méthode au problème et je conclus en vérifiant le résultat.

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