Sommes de Riemann — MPSI à PTSI

Pour calculer la limite d'une somme de la forme $\frac{1}{n}\sum f(k/n)$.

$\frac{b-a}{n} \sum_{k=0}^{n-1} f\!\left(a + k\frac{b-a}{n}\right) \xrightarrow[n \to \infty]{} \int_a^b f$ — $f$ continue (par morceaux) sur $[a,b]$.

1. Mettre $\frac{1}{n}$ en facteur.
2. Reconnaître $f(k/n)$.
3. Conclure par l'intégrale sur $[0,1]$.

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k}$ : $= \frac{1}{n}\sum \frac{1}{1 + k/n}$ ⇒ $\to \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \ln 2$

Faire apparaître exactement $\frac{1}{n}$ et $\frac{k}{n}$ ; indices $0..n-1$ ou $1..n$ donnent la même limite.