Raisonnement par récurrence — Terminale

Quand on veut démontrer qu'une propriété est vraie pour tout entier $n$ à partir d'un certain rang (inégalité, formule, divisibilité, etc.).

Si $P(n_0)$ est vraie et si $P(n) \Rightarrow P(n+1)$ pour tout $n \geq n_0$, alors $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.

Étape 1 – Initialisation : Vérifie que la propriété $P(n_0)$ est vraie pour le rang de départ $n_0$ (souvent $n_0=0$ ou $n_0=1$). Étape 2 – Hérédité : Suppose que $P(n)$ est vraie pour un entier $n \geq n_0$ fixé quelconque (hypothèse de récurrence), puis démontre que $P(n+1)$ est vraie. Conclusion : Par le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier $n \geq n_0$.

Montrons que $\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$ pour tout $n \geq 1$.

• Init. ($n=1$) : $\sum_{k=1}^{1} k = 1 = \frac{1 \times 2}{2}$ ✓
• Hér. : On suppose $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$. Alors $\sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \frac{(n+1)(n+2)}{2}$ ✓
• Conclusion : La propriété est vraie pour tout $n \geq 1$.

• Oublier l'initialisation (sans elle, la démonstration est nulle). • Dans l'hérédité, oublier d'écrire explicitement l'hypothèse de récurrence avant de l'utiliser. • Conclure sans la phrase de conclusion — elle est obligatoire en copie. • Confondre « montrer $P(n+1)$ en supposant $P(n)$ » avec « montrer $P(n)$ et $P(n+1)$ simultanément ».