Quantificateurs et négation — 2nde à 1ère

Pour lire une propriété générale, la nier correctement et savoir s'il faut une preuve ou un contre-exemple.

« Pour tout $x$, P($x$) » se nie en « il existe $x$ tel que non P($x$) » ; « il existe $x$, P($x$) » se nie en « pour tout $x$, non P($x$) ». Non(P et Q) = non P ou non Q ; non(P ou Q) = non P et non Q.

1. Repère le quantificateur.
2. « Pour tout » vrai : démonstration générale ; faux : un contre-exemple suffit.
3. « Il existe » vrai : un exemple suffit.
4. Pour nier : échange ∀ ↔ ∃, et/ou, et nie la propriété finale.

« Pour tout réel $x$, $x^2 > 0$ » est faux : contre-exemple $x = 0$. Sa négation : « il existe $x$ tel que $x^2 \leq 0$ ».

La négation de « $x > 3$ » est « $x \leq 3$ » (pas « $x < 3$ ») ; la négation de « tous » n'est pas « aucun ».