Procédé d'orthonormalisation de Gram-Schmidt — MPSI à PT

Pour construire une base orthonormée à partir d'une base quelconque.

$u_k = e_k - \sum_{i<k} \langle e_k, \varepsilon_i \rangle \varepsilon_i,\qquad \varepsilon_k = \frac{u_k}{\|u_k\|}$

1. $\varepsilon_1 = \frac{e_1}{\|e_1\|}$.
2. Retirer à $e_k$ ses projections sur les $\varepsilon_i$ déjà construits.
3. Normaliser.

$e_1 = (1,1)$, $e_2 = (1,0)$ : $\varepsilon_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)$, $u_2 = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ ⇒ $\varepsilon_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)$

Projeter sur les vecteurs déjà normalisés $\varepsilon_i$, pas sur les $e_i$.