Le groupe des permutations du Rubik's Cube — MPSI à PTSI

Quand tu dois illustrer ou vérifier qu'un ensemble muni d'une loi est un groupe fini, ou pour comprendre l'action d'un groupe de permutations sur un ensemble fini.

Le groupe du Rubik's Cube $G$ est un sous-groupe du groupe symétrique $S_{48}$. Son cardinal est $|G| = 43\,252\,003\,274\,489\,856\,000 \approx 4{,}3 \times 10^{19}$. Tout élément de $G$ est d'ordre fini (par le théorème de Lagrange, l'ordre de tout élément divise $|G|$).

Le Rubik's Cube est un exemple concret de groupe fini de permutations. Chaque mouvement est une permutation des 48 facettes (ou 20 pièces mobiles). L'ensemble des positions accessibles forme un groupe $G \subset S_{48}$ pour la loi de composition $\circ$. Vérifier la structure de groupe : 1) Fermeture : enchaîner deux mouvements donne un mouvement valide. 2) Associativité : héritée de $S_{48}$. 3) Élément neutre : ne rien faire (position initiale). 4) Inverse : effectuer les mouvements en sens inverse et ordre inverse.

La rotation quart de tour de la face supérieure $U$ est une permutation $\sigma_U \in S_{48}$. Son ordre est $4$ car $\sigma_U^4 = \mathrm{id}$. L'enchaînement $\sigma_U \circ \sigma_U^{-1} = \mathrm{id}$ illustre l'existence de l'inverse.

Ne pas confondre l'ordre du groupe $|G|$ (nombre de positions) et l'ordre d'un élément (nombre de fois qu'il faut appliquer le mouvement pour revenir à l'état initial). La loi $\circ$ n'est pas commutative : $\sigma_U \circ \sigma_R \neq \sigma_R \circ \sigma_U$ en général.