Croissance exponentielle : discret et continu — 1ère à Terminale

Pour modéliser une évolution à taux constant (population, radioactivité, médicament) en temps discret ou continu.

Évolution à taux constant en temps discret : suite géométrique $u_n = u_0 q^n$. En temps continu : $f(t) = C e^{kt}$ ($k > 0$ croissance, $k < 0$ décroissance). La suite $u_n = e^{kn}$ est géométrique de raison $e^k$.

1. Repère si le temps est discret (années entières) ou continu.
2. Discret : identifie $q$ ; continu : identifie $k$ et $C = f(0)$.
3. Calcule les valeurs demandées ; pour une demi-vie, cherche $t$ tel que $f(t) = \dfrac{C}{2}$.

Population +2 %/an : $P_n = P_0 \times 1{,}02^n$. Désintégration : $N(t) = N_0 e^{-0{,}1t}$, $N(10) = N_0 e^{-1} \approx 0{,}37N_0$.

$e^{kt}$ avec $k = 0{,}02$ n'est pas exactement « +2 % par an » ($e^{0{,}02} \approx 1{,}0202$).