Formules d'Euler et de Moivre — MPSI à PTSI

Pour linéariser ($\cos^n$, $\sin^n$) ou exprimer $\cos nx$ en puissances de $\cos x$.

Euler : $\cos x = \frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$, $\sin x = \frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ Moivre : $(\cos x + i\sin x)^n = \cos nx + i \sin nx$

1. Linéariser : remplacer par Euler, développer (binôme), regrouper en $\cos kx$.
2. Développer $\cos nx$ : Moivre puis partie réelle.

$\cos^3 x$ : $= \frac{(e^{ix}+e^{-ix})^3}{8}$ ⇒ $= \frac{\cos 3x + 3\cos x}{4}$

Penser à diviser par $2^n$ (ou $(2i)^n$ pour le sinus).