Complexes et géométrie — Terminale

Pour traduire un problème de géométrie plane en calculs sur les affixes (longueurs, angles, alignement, triangles).

$AB = |z_B - z_A|$ ; $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \arg\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ $[2\pi]$. $A, B, C$ alignés ⇔ $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ réel ; $(AB) \perp (AC)$ ⇔ ce quotient est imaginaire pur. Rotation de centre $\Omega$, d'angle $\theta$ : $z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega)$.

1. Écris les affixes.
2. Calcule le quotient $Z = \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$.
3. Lis : $|Z|$ (rapport de longueurs), $\arg Z$ (angle) ; $Z$ réel ⇒ alignés, imaginaire pur ⇒ orthogonaux.

$A(0)$, $B(1)$, $C(i)$ : $\frac{i - 0}{1 - 0} = i$, module 1 et argument $\frac\pi2$ : triangle rectangle isocèle en A.

L'ordre dans le quotient compte : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A}$ donne l'angle de $\overrightarrow{AB}$ vers $\overrightarrow{AC}$.