Forme trigonométrique et exponentielle — Terminale

Pour multiplier, diviser, élever à une puissance des complexes, ou passer à la géométrie (rotations).

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$ avec $r = |z|$ et $\theta = \arg z$ $[2\pi]$. $e^{i\theta}e^{i\theta'} = e^{i(\theta + \theta')}$, $(e^{i\theta})^n = e^{in\theta}$ (Moivre), $\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}$. Euler : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$, $\sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$.

1. Module $r = \sqrt{a^2 + b^2}$.
2. $\cos\theta = \frac ar$, $\sin\theta = \frac br$ ⇒ $\theta$.
3. Produit : modules multipliés, arguments additionnés ; puissance : $r^n e^{in\theta}$.

$1 + i = \sqrt2 e^{i\pi/4}$ ; $(1 + i)^8 = 16e^{2i\pi} = 16$.

L'argument est défini à $2\pi$ près ; vérifie le quadrant avec les signes de $a$ et $b$.