Dérivée d'une composée — Terminale

Pour dériver une fonction « fonction d'une fonction » : $e^{3x^2}$, $(2x + 1)^5$, $\sqrt{x^2 + 1}$, $\ln(1 + x^2)$.

$(v \circ u)' = u' \times (v' \circ u)$. Cas usuels : $(e^u)' = u'e^u$ ; $(u^n)' = nu'u^{n-1}$ ; $(\sqrt u)' = \frac{u'}{2\sqrt u}$ ; $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ ; $f(ax + b)' = af'(ax + b)$.

1. Repère la fonction intérieure $u$ et extérieure $v$.
2. Dérive $u$.
3. Multiplie $u'$ par $v'$ évaluée en $u$.

$f(x) = e^{3x^2}$ : $u = 3x^2$, $u' = 6x$ ⇒ $f'(x) = 6xe^{3x^2}$. $g(x) = (2x + 1)^5$ ⇒ $g'(x) = 10(2x + 1)^4$.

Ne pas oublier le facteur $u'$ : $(e^{3x^2})' \neq e^{3x^2}$.