Calcul matriciel et inverse — Terminale

Pour représenter un système linéaire, une évolution en plusieurs états, et calculer des puissances.

Produit $AB$ : coefficient $(i, j)$ = ligne $i$ de $A$ × colonne $j$ de $B$ ; en général $AB \neq BA$. $I_n$ : identité, $AI = IA = A$. Pour $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, si $\det A = ad - bc \neq 0$ : $A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. Système $AX = B$ : $X = A^{-1}B$.

1. Vérifie les dimensions (colonnes de $A$ = lignes de $B$).
2. Calcule ligne × colonne.
3. Inverse 2×2 : déterminant, échange $a$ et $d$, oppose $b$ et $c$.
4. Système : $X = A^{-1}B$.

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}$ : $\det = 1$, $A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -5 & 2 \end{pmatrix}$.

Le produit n'est pas commutatif ; $\det = 0$ ⇒ pas d'inverse.