Divisibilité et division euclidienne — Terminale

Pour montrer qu'un entier en divise un autre, trouver un quotient/reste, raisonner par disjonction des restes.

$a$ divise $b$ ($a \mid b$) s'il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = ka$. Si $a \mid b$ et $a \mid c$, alors $a \mid ub + vc$ pour tous entiers $u, v$. Division euclidienne : pour $a \in \mathbb{Z}$, $b \geq 1$, il existe un unique couple $(q ; r)$ avec $a = bq + r$ et $0 \leq r < b$.

1. Divisibilité : écrire $b = ka$ ou utiliser une combinaison linéaire.
2. Division euclidienne : vérifier $0 \leq r < b$ (attention aux négatifs).
3. Disjonction : étudier les $b$ restes possibles de $n$ modulo $b$.

$-17 = 5 \times (-4) + 3$ : quotient $-4$, reste 3. Si $d \mid n + 3$ et $d \mid n + 1$, alors $d \mid 2$.

Le reste est toujours positif et strictement inférieur au diviseur : $-17 = 5 \times (-3) - 2$ n'est pas la division euclidienne.