Théorème de la limite de la dérivée — MPSI

Pour prouver qu'une fonction recollée est dérivable (ou $\mathcal{C}^1$) en un point.

Si $f$ est continue sur $I$, dérivable sur $I \setminus \{a\}$ et $f'(x) \to \ell$ quand $x \to a$, alors $f$ est dérivable en $a$ et $f'(a) = \ell$.

$f(x) = x^2 \ln|x|$, $f(0) = 0$ : $f'(x) = 2x \ln|x| + x \to 0$ ⇒ $f$ est $\mathcal{C}^1$, $f'(0) = 0$.

La continuité de $f$ en $a$ est indispensable.