Primitives par reconnaissance de forme — Terminale

Quand la fonction a la forme « dérivée d'une fonction × fonction de cette fonction ».

$u'e^u \to e^u$ ; $\frac{u'}{u} \to \ln u$ ($u > 0$) ; $u'u^n \to \frac{u^{n+1}}{n+1}$ ; $\frac{u'}{\sqrt u} \to 2\sqrt u$ ; $\frac{u'}{u^2} \to -\frac1u$. Pour $f(ax + b)$ : $\frac1a F(ax + b)$.

1. Repère $u$ et vérifie que $u'$ apparaît (à une constante près).
2. Ajuste la constante multiplicative.
3. Applique la forme ; vérifie en dérivant.

$f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ : $u = x^2 + 1$, $F(x) = \ln(x^2 + 1)$. $g(x) = xe^{x^2} = \frac12 \cdot 2xe^{x^2}$ : $G(x) = \frac12 e^{x^2}$.

Il faut exactement $u'$ : compense le facteur manquant ($\frac12$, $\frac13$…), jamais un $x$.